Cauchy complete는 거리에 의해서 논의되는 개념이고, Least upper bound property는 순서에 의해 논의되는 개념이다.
즉, 두 개념은 정확하게는 다루는 범주가 다르다.
하지만, 일부 공간의 경우 Order relation을 활용하여 metric을 정의할 수 있는 경우가 있고
위 경우에는 다음과 같은 명제가 성립한다.
"If Least upper bound property then Cauchy complete (Reverse is not true)"
실수는 order relation을 활용하여 metric을 정의한 경우이고 Least upper bound가 성립하는 상황이므로 당연히 cauchy complete하다.
해당 공간 중 Least upper bound property가 성립하는 공간은 R이 유일한다. (R과 isomorphic하다.)
Least upper bound property는 성립하지는 않지만, Order relation을 활용하여 metric을 정의하는 Ordered field의 예로는 formal Laurent series field가 존재한다.
